\documentclass[10pt,journal,compsoc]{IEEEtran}
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\usepackage[cmex10]{amsmath}

\hyphenation{}

\begin{document}

\title{El Arte de Hacer Colas!!!!!!!}


\author{Lucila Stancato,~\IEEEmembership{I.T.B.A,}
		Dami\'an Modernell,~\IEEEmembership{I.T.B.A,}
		Juan Brasca,~\IEEEmembership{I.T.B.A,}
		Conrado Negro,~\IEEEmembership{I.T.B.A}%
}

\IEEEcompsoctitleabstractindextext{%
\begin{abstract}
%\boldmath
Simulamos un modelo de cola simple con un esquema de simulaci\'on forzada por eventospara comparar
los resultados con los valores te\'oricos de dicho modelo. Dise\~namos un modelo de un sistema de
dos colas en serie para hacer simulaciones y obtener una estimaci\'on de los par\'ametros del sistema.
\end{abstract}

\begin{IEEEkeywords}
Teor\'ia de colas, modelo de cola simple, simulaci\'on forzada por eventos
\end{IEEEkeywords}
}%\IEEEcompsoctitleabstractindextext

\maketitle

\IEEEdisplaynotcompsoctitleabstractindextext

\IEEEpeerreviewmaketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introducci\'on} %seccion 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La teor\'ia de colas fue originada por Agner Krarup Erlang (1878-1929) en 1909. Es una colecci\'on
de modelos matem\'aticos que describen sistemas de l\'ineas de espera (o colas) particulares o de
sistemas de colas. Esta teor\'ia es de gran valor en los negocios de hoy en d\'ia ya que muchos de
sus problemas pueden modelarse como problemas de congesti\'on llegada/partida.\\
El modelo del sistema de una cola puede verse en la figura 1. Consiste en clientes que van a ser
atendidos por un servidor. En el caso de que el servidor este desocupado y llegue un cliente, entonces
este es atendido inmediatamente. Si el servidor estuviera ocupado, entonces el cliente espera en la
cola hasta que el servidor se desocupe.\\

\begin{figure}[t] %figura 1
\label{fig:colasimple}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{cola.jpg}
\caption{Modelo de cola simple: los clientes llegan por la parte izquierda y entran en el servidor o en la cola, y luego de ser atendidos salen del servidor por la derecha}
\end{center}
\end{figure}

El problema es determinar qu\'e capacidad tiene la cola o qu\'e tasa de servicio tiene el servidor ya
que ni los clientes llegan a tiempos fijos ni los tiempos de servicio son iguales para todos los
clientes. Nosotros utilizamos un modelo de cola simple de tipo M/M/1/$\inf$/FIFO en el que tanto el
tiempo entre arribos de clientes como el tiempo de servicio son variables aleatorias con distribuci\'on
exponencial. Tambi\'en supone que la cola tiene capacidad infinita, y sigue una disciplina de tipo FIFO.\\
##########En la secci\'on 2 hacemos ESTOOOOOOO en la seccion 3 hacemos ESTOOOOOOOOOOOOOO blablabla!!##############

%para meter graficos
%-------------------
%\begin{figure}[t]
%\label{fig:histogramalecuyer}
%\begin{center}
%\centering
%\includegraphics[width=3.2in]{clases.jpg}
%\caption{10000 n\'umeros generados con el generador de L'Ecuyer divididos en 10 intervalos de clase que muestran una distribuci\'on uniforme}
%\end{center}
%\end{figure}

%para meter tablas
%-----------------
%\begin{table}[!t]
%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\caption{Semillas de las variables pseudoaleatorias}
%\centering
%\begin{tabular}{c c}
%\hline
%\hline
%Variable  & Semilla\\
%\hline
%$u_1$ &  23\\
%$u_2$ & 2 \\
%$u_3$ & 5 \\
%$u_4$ & 17  \\
%$u_5$ & 7 \\
%\hline
%\hline
%\end{tabular}
%\label{tab:sim}
%\end{table}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Simulando la cola} %seccion 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
El modelo de cola elegido es el m\'as simple de analizar mediante la simulaci\'on por eventos discretos.
La simulaci\'on forzada por eventos discretos es una t\'ecnica inform\'atica de modelado din\'amico de
sistemas. Estos sistemas se caracterizan por mantener un estado interno global que cambia en instantes
de tiempo asociados a la ocurrencia de un determinado evento en la din\'amica del sistema. En nuestro
caso, el conjunto discreto de eventos del sistema es $E={llegada, partida}$, y el conjunto de estados
del servidor es $S={libre, ocupado}$.\\
Para una cola 

Para el caso en que el intervalo entre llegadas sea una variable aleatoria exponencialmente distribuida
con tiempo medio entre arribos ($\lambda$) de 1 minuto y el tiempo de servicio ($\mu$) tambi\'en sea 
exponencial con media de 0.5 minutos; una simulaci\'on forzada por eventos da los resultados de la tabla 1.\\

\begin{table}[!t]
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\centering
\begin{tabular}{c c}
\hline
\hline
Par\'ametro  				&	Valor			\\
\hline
Tiempo medio en cola		&	0.895 minutos	\\
Longitud media de la cola	&	0.846			\\
Utilizaci\'on del servidor	&	0.464			\\
Simulaci\'on finalizada a	&	1057.655 minutos\\
\hline
\hline
\end{tabular}
\label{tab:sim}
\caption{Resultados de una simulaci\'on forzada por eventos con $\lambda = 1$ minuto y $\mu~E(0.5 minutos)$ para 1000 clientes}
\end{table}

El estado del servidor en esta simulaci\'on lo mostramos en la figura 2, y en la figura 3 mostramos
la longitud de la cola en funci\'on del tiempo.

\begin{figure}[t]%figura 2
\label{fig:estadoservidor}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{estado_servidor.jpg}
\caption{Gr\'afico que muestra el estado del servidor en funci\'on del tiempo. Si el servidor esta desocupado en un instante, el valor es $0$, en caso contrario, el valor es 1.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[t]%figura 3
\label{fig:longitudcola}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{gente_en_cola.jpg}
\caption{Gr\'afico que muestra la longitud de la cola en funci\'on del tiempo para la simulaci\'on realizada.}
\end{center}
\end{figure}

Podemos ver en las figuras 2 y 3 que el servidor se encuentra ocupado en casi todo el tiempo, y la cola
llega a un m\'aximo de $7$ sobre el final de la simulaci\'on.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{C\'alculo de par\'ametros del sistema} %seccion 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Para distintos sistemas como podr\'ia ser la cola de un banco, o de cualquier servicio que pueda ser
simulado por el sistema de colas, puede llegar a ser muy \'util conocer distintos par\'ametros como
por ejemplo el promedio temporal de clientes en el sistema, o el tiempo medio que un cliente tarda
en el sistema.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Promedio temporal de clientes en el sistema} %seccion 3.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%<chamuyo>
En un caso pr\'actico, conocer este par\'ametro puede resultar \'util para saber si es necesario
tener otra cola si la cantidad de clientes en el sistema con una sola cola es demasiado grande.\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%<\chamuyo>
Estimamos con un error menor al 5\%, el promedio temporal de clientes en el sistema
cuyo valor te\'orico se calcula con la ecuaci\'on 1

\begin{equation}
L = \frac{\rho}{1-\rho}
\end{equation}

donde $\rho$ es la intensidad de tr\'afico de la cola.\\
Para lograrlo, simulamos la cola mediante una simulaci\'on forzada por eventos realizada en Matlab.
%%%%%%%%y determinamos que se deben realizar XXXXXXXXXXXXXXXXXXX simulaciones para tener un error menor al 5\%.
Los resultados de la simulaci\'on se ven en la figura 4.

\begin{figure}[t]%figura 4
\label{fig:puntouno}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{L_rho.jpg}
\caption{Promedio temporal de clientes en funci\'on del tr\'afico en el sistema. A medida que el tr\'afico se incrementa, el promedio te\'orico aumenta m\'as r\'apidamente que el valor medido en la simulaci\'on.}
\end{center}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Tiempo medio de un cliente en el sistema} %seccion 3.2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
En algunos casos, se puede necesitar conocer el tiempo medio que un cliente tarda en el sistema desde
que llega a la cola hasta que sale luego de ser atendido. Siempre se desea que este par\'ametro sea
menor para que la atenci\'on a los clientes sea m\'as r\'apida.\\
El valor te\'orico de este par\'ametro para este par\'ametro se calcula seg\'un la ecuaci\'on 2

\begin{equation}
  W = \frac{1}{\mu - \lambda}
\end{equation}

donde $\lambda$ es la tasa media de clientes que llegan al sistema (en clientes por minuto) y
$\frac{1}{\mu}$ es el tiempo que tarda el servidor en atender a un cliente.\\
Estimamos este tiempo simulando la misma cola que en la secci\'on 3 tambi\'en con un error menor al 5\%.
Los resultados los mostramos en la figura 5.

\begin{figure}[t]%figura 5
\label{fig:puntouno}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{plot_w.jpg}
\caption{Gr\'afico del promedio de tiempo en cola por cliente en funci\'on de la intensidad de tr\'afico en el sistema. Podemos observar que a medida que el tr\'afico aumenta, la diferencia entre el valor te\'orico y el de la simulaci\'on aumenta.}
\end{center}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sistema de dos colas en serie} %seccion 4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Dise\~namos un sistema m\'as complejo que el anterior, haciendo que haya otra cola en serie. 
Cuando un cliente termina de ser atendido en el primer servidor, arriba a la siguiente cola
que se comporta de la misma forma que la cola de las secciones 2 y 3.
En este caso, simulamos el comportamiento para distintas intensidades de tr\'afico, calculamos
la cantidad media de clientes en el sistema y colocamos los resultados en el gr\'afico de la figura
6.

\begin{figure}[t]%figura 6
\label{fig:puntouno}
\begin{center}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{L_serial.jpg}
\caption{COMENTAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAARRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR}
\end{center}
\end{figure}


\section{Conclusi\'on}
CONCLUIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR


\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{IEEEhowto:kopka}
Teor\'ia de colas, http://exa.unne.edu.ar/depar/areas/informatica/evalua/teoria_de_colas.pdf

\bibitem{IEEEhowto:kopka}
Simulaci\'on de eventos discretos, http://es.wikipedia.org/wiki/Simulaci\%C3\%B3n_por_eventos_discretos

\bibitem{IEEEhowto:kopka}
Diaz, Alejandro: Notas de Clase Curso 2009, Simulaci\'on por Eventos Discretos


\end{thebibliography}

\end{document}


